План. Визначення евклидова і топологічного симплексів. Триангуляція топологічного різноманіття. Орієнтуються і неоріентіруемие поверхні. Характеристика Ейлера топологічного різноманіття і її топологічна інваріантність. Топологічна класифікація поверхонь. Векторні поля на різноманітті. Топологічні ефекти в фізиці.

Мета лекції - обґрунтувати спосіб "спрощення" різноманіття - тріангуляцію - і побудувати один з найпростіших чисельних топологічних інваріантів - ейлерову характеристику. Дати уявлення про завдання класифікації в геометрії і перерахувати класи гомеоморфізму поверхонь. Ввести поняття векторного поля і інтерпретацію ейлеровой характеристики за допомогою векторних полів.

евклідовим -мірним симплексом (рис. 15 а)) називається безліч

-Мірною гранню евклидова симплекса називається евклидов симплекс

а) Евкліда симплекс б) Топологічний симплекс

топологічним -мірним симплексом в різноманітті (рис. 15 б)) називається образ евклидова мірного симплекса при такому його відображенні в різноманіття , Що індуковане їм відображення - гомеоморфизм.

Надалі ми не будемо робити відмінності в позначеннях між топологічним симплексом і відповідним йому евклідовим симплексом.

Різні топологічні симплекси і назвемо сусідніми правильно (рис. 16), якщо виконано одну з умов:
1) симплекси не перетинаються;
2) симплекси мають загальну межу, яка є їх перетином;
3) один з симплексів є межею іншого.

Правильне примикання симплексів

Тріангуляцією топологічного різноманіття називається представлення його у вигляді об'єднання деякого набору симплексів, причому різні симплекси примикають правильно, і грань будь-якого симплекса не може бути инцидентна межі того ж симплекса.

Занумеруем вершини мірного симплекса за правилом: вершина з номером має координати (Координата з номером дорівнює 1) і зафіксуємо напрямок обходу, тобто порядок перерахування його вершин, що задається підстановкою (Рис. 17). Два напрямки обходу і одного симплекса називаються рівними, якщо задають їх підстановки мають однакову парність, і протилежними, якщо задають їх підстановки мають різну парність.

орієнтовані симплекси

орієнтацією симплекса називається клас рівних напрямків його обходу. Симплекси однакових розмірностей і із загальною межею узгоджено орієнтовані, якщо їх орієнтації на загальній межі протилежні (рис. 17).

Топологічний різноманіття називається орієнтованим, якщо воно допускає тріангуляцію, симплекси якої можна орієнтувати узгоджено, і неоріентіруемим в іншому випадку.

Можна показати, що орієнтовність (неоріентіруемость) різноманіття не залежить від вибору його тріангуляції.

Орієнтована різноманіття є, наприклад, евклидова площину, сфера і тор, неоріентіруемимі - лист Мебіуса, речова проективна площину і пляшка Клейна.

Покажемо, що стрічка Мебіуса є неоріентіруемим різноманіттям. Для цього виберемо її тріангуляцію і орієнтуємо послідовно кожен її симплекс так, щоб він був орієнтований відповідно попереднього (рис. 18). Тоді знайдеться ребро , На якому індуковані однакові орієнтації.

Лист Мебіуса як неоріентіруемое різноманіття

Орієнтації двовимірного симплекса на поверхні може бути поставлено у відповідність одне з двох можливих напрямків нормалі у внутрішній точці симплекса. Це може бути зроблено за відомим з курсів аналітичної геометрії і фізики правилом свердлика. Напрямок нормалі в точці поверхні вказує одну з двох сторін поверхні в околиці цієї точки. Якщо поверхня орієнтована, то завдання орієнтації фіксує сімейство напрямків нормалей поверхні, причому напрямок нормалі в точці не змінюється при обході будь-якого замкнутого контуру на поверхні, що містить цю точку. Таким чином, гіпотетичний спостерігач, що здійснює подорож по ориентируемой поверхні, завжди залишається з одного її боку і не може потрапити на іншу. У цьому сенсі орієнтуються поверхні називають двосторонніми. У разі неоріентіруемой поверхні ситуація зворотна (рис. 19).

Лист Мебіуса як одностороння поверхню

Існує замкнутий контур, при обході якого напрямок нормалі змінюється на протилежне. При подорожі по такому контуру гіпотетичний спостерігач, обійшовши маршрут один раз, повернеться у вихідну точку, але виявиться з іншого боку поверхні. Тому неоріентіруемие поверхні називають односторонніми.

В курсі аналітичної геометрії вводилися орієнтації на площині і в просторі. Це робилося за допомогою фіксації одного з двох класів базисів: матриця переходу між базисами одного класу має позитивний визначник. Зафіксувавши будь базис обраного класу орієнтації, отримаємо напрям обходу вершин евклидова симплекса. Таким чином, вибір орієнтації як класу базисів евклідового простору визначає орієнтацію евклидова симплекса і, отже, його способу при гомеоморфізмом в топологічний різноманіття.

Обмежимося розглядом різноманіть, які допускають тріангуляцію з кінцевого числа симплексів.

Топологічної ейлеровой характеристикою, або характеристикою Ейлера - Пуанкаре, даної тріангуляції різноманіття називається число

де - число симплексів розмірності в даній тріангуляції.

У докладних курсах топології доводиться, що значення ейлеровой характеристики залежить від різноманіття , Але не від вибору його тріангуляції. Також можна показати, що ейлерови характеристики гомеоморфних різноманіть рівні.

Для цього достатньо зауважити, що, якщо заданий гомеоморфизм , То тріангуляція топологічного різноманіття індукує тріангуляцію на топологічному різноманітті . Тоді числа симплексів кожної розмірності в узгоджених таким чином тріангуляції різноманіть і відповідно рівні, що і доводить рівність їх ейлерових характеристик.

Остання властивість означає незмінність ейлеровой характеристики при гомеоморфізмом і називається топологічної инвариантностью ейлеровой характеристики.

Матеріальна проективна площину і її тріангуляція

Обчислимо ейлерову характеристику речової проективної площині . Проективна площину може бути отримана склеюванням двох пар протилежних сторін прямокутника зі зверненням напрямку обходу, як показано на малюнку 20 а). Одна з можливих тріангуляцій проективної площині показана на рис. 20 б). Зауважимо, що на схемі склейки одна і та ж точка може мати кілька зображень. Наприклад, точки сторін прямокутника мають по два зображення. Крім того, деякі грані тріангуляції мають по два зображення, ототожнюються склеюванням. такі межі , . Решта межі мають по одному зображенню. Підрахуємо число (двовимірних) граней, ребер (одновимірних граней) і вершин (нульмерние граней) тріангуляції: Таким чином, ейлерова характеристика проективної площині дорівнює

У різних областях математики ставляться і вирішуються так звані задачі класифікації: розбити всі об'єкти даної категорії на класи еквівалентності, перерахувати всі класи еквівалентних об'єктів даної категорії і довести, що кожен об'єкт даної категорії належить одному з класів. Найпростіший приклад завдання класифікації - класифікація скінченновимірних векторних просторів над фіксованим полем. Ставлення еквівалентності в цьому випадку задається изоморфизмом векторних просторів. Тоді відома теорема алгебри про ізоморфізмі векторних просторів однієї розмірності над одним і тим же полем набуває сенсу теореми класифікації. Все скінченномірні векторні простору над даним полем поділяються на класи ізоморфних просторів, що розрізняються розмірністю і тільки нею.

Тепер звернемося до замкнутим (тобто компактним і без краю) орієнтується поверхонь. нехай - зв'язкова сума двовимірних торів, тобто (Рис. 21). Таке різноманіття назвемо тором роду . Покладемо за визначенням, що при тор роду 0 - сфера .

У докладних курсах топології доводиться, що будь-яка компактна орієнтована поверхню без краю гомеоморфна тору роду при відповідному значенні параметра.

нехай - зв'язкова сума речових проективних площин (рис. 22). Очевидно, ця поверхня неоріентіруема при будь-яких натуральних значеннях числа . Будь-яка компактна неоріентіруемая поверхню без краю гомеоморфна різноманіттю при відповідному значенні параметра . число називається родом неоріентіруемой поверхні.

Конструювання орієнтується і неоріентіруемих замкнутих поверхонь може бути інтерпретовано інакше. У ориентируемой разі приєднання тора, що збільшує рід поверхні на 1, можна уявити як приклеювання ручки, яке складається з наступних операцій:
1) вирізання з поверхні двох непересічних дисків,
2) приклеювання бічної поверхні циліндра до краю утворився різноманіття.
Читачеві пропонується намалювати операцію приклеювання ручки до сфери і тору роду 1.

У неоріентіруемом разі приєднання проективної площині, що збільшує рід поверхні на 1, можна уявити як вклеювання листа Мебіуса, яке складається з наступних операцій:
1) вирізання з поверхні одного диска,
2) приклеювання листа Мебіуса до краю утворився різноманіття.
Зауважимо, що лист Мебіуса має край, гомеоморфними окружності, тому друга операція можлива.

Те, що приєднання проективної площині рівносильно вклеювання листа Мебіуса, неважко зрозуміти, якщо довести, що приклеювання диска до листа Мебіуса по його межі призводить до проективної площині.

Побудова проективної площині

Для цього розглянемо розгортку листа Мебіуса (рис. 23 а)), в якій ототожнюються боку позначені літерою . Приклеюється диск зобразимо у вигляді квадрата зі сторонами . Разрежем його вздовж діагоналі ; спосіб склейки двох половин квадрата показаний стрілками (рис. 23 б)). Приклеїмо половини квадрата до вільних сторонам розгортки листа Мебіуса, дотримуючись порядок обходу сторін квадрата так, як показано на рис. 23 в). Отримаємо розгортку проективної площині.

Доведемо, що зв'язкова сума двох проективних площин гомеоморфна пляшці Клейна. Уявімо кожну з проективних площин як результат склеювання протилежних точок кордону диска (рис. 24). Видалимо з кожної проективної площині диск, обмежений на малюнку дугою . Формування зв'язного суми задається ототожненням дуг , Що належать залишилися частинах проективних площин. При цьому виходить розгортка з напрямками склейки, зазначеними на малюнку. Щоб визначити вид поверхні, представленої отриманої рядків, разрежем її уздовж діагоналі і виконаємо ототожнення сторін з урахуванням напрямків. При цьому отримаємо розгортку неоріентіруемой поверхні, званої пляшкою Клейна.

Зауваження. "Змішана" зв'язкова сума неоріентіруема і гомеоморфна різноманіттю відповідного роду.

Конструювання пляшки Клейна з двох проективних площин

Топологічні класи орієнтується і неоріентіруемих поверхонь з краєм виходять з класів поверхонь без краю видаленням деякого числа непересічних дисків. Таким чином, клас ориентируемой (неоріентіруемой) поверхні з краєм визначається двома числами: родом, тобто числом приклеєних ручок (відповідно, листів Мебіуса), і числом віддалених дисків, тобто числом компонент краю.

Векторним полем на різноманітті називається функція, яка має у відповідність кожній точці різноманіття дотичний вектор до різноманіття в цій точці.

нехай - векторне поле з ізольованими нулями на компактному ориентируемой різноманітті . Кожному такому векторному полю може бути поставлено у відповідність число (підрахованих за певним правилом) точок, в яких векторне поле звертається в нуль. Теорема Хопфа про індекс стверджує, що це число дорівнює ейлеровой характеристиці різноманіття .

Теорема Хопфа пояснює наявність в кожен момент часу в атмосфері таких явищ, як циклони і антициклони. Земна поверхня має топологію сфери, ейлерова характеристика якої дорівнює двом. Як векторного поля розглянемо поле швидкостей повітряних мас. Тоді в кожен момент часу таке векторне поле, по теоремі Хопфа, має не менше двох нулів.

Однією з проблем космології (галузі фізики, що вивчає виникнення і еволюцію Всесвіту як фізичної системи) є питання про топології простору-часу Всесвіту як чотиривимірного різноманіття.